CURSO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS ONLINE (ÁLGEBRA, GEOMETRÍA)

 


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SISTEMAS NUMÉRICOS


 

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Curso de Matemáticas

 

 

 


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SISTEMA DECIMAL

CONTEO DE CIFRAS AL ESCRIBIR LA SERIE NATURAL

EN BASE 10

# de cifras = (# mayor + 1) (# cifras del # mayor) – (número con tantos 1 como cifras tenga el # mayor)

Ejemplos:
¿Cuántas cifras se emplea para escribir la serie natural de los números hasta el 3 475?

Solución:
# de cifras = (3 475 + 1) (4) – (1 111)
# de cifras = 3 4 76 . 4 – 1 111
# de cifras = 13 904 – 1 111 = 12 793

¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir la serie natural de los números hasta 15 497?

Solución:
# de cifras = (15 497 + 1) (5) – 11 111
# de cifras = 15 498 . 5 – 11 111
# de cifras = 66 379

EN BASE N:

k = # de cifras del número mayor
n = base del sistema
Ejemplo:
¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir hasta el número 8 427(9)?

Solución :

8 427(9) = 6 181

# de cifrras = 23 908

CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE NÚMEROS DE "n" CIFRAS, EN BASE "A"

Consiste en darle a cada cifra el número de valores que puede asumir. El producto de estos valores nos dá el número de combinaciones que a su vez es el número de números de "n" cifras.

# de números = (base – 1)(base - 1)(n-1)

Observar que:
"n" es el número de ciras, pero cuando las cifra se repiten, esa cifra se toma una sola vez. Ejemplo:

Tiene 1 cifra repetida y distinta a la primera cifra.
Por lo tanto:
# de cifras = (12 - 1) (12 - 1)(2-1) = 121

SUMATORIA DE PRIMEROS NÚMEROS DE LA SERIA NATURAL EN BASE 10

1) Suma de los "n" primeros números consecutivos de la serie natural.

SC = 1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + n

2) Suma de los "n" primeros números impares consecutivos de la serie natural de los números.

S¡ = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 3) + (2n - 1)

S¡ = n2

3) Suma de los "n" primeros números pares consecutivos de la serie natural de los números.

Sp = 2 + 4 + 6 + … + (2n - 4) + (2n - 2) + 2n

Sp = n(n + 1)

 

SISTEMA BINARIO

  •  Sistemas numéricos

El sistema de numeración binaria está construido de la misma forma que el sistema decimal. Sin embargo, dado que en este sistema la base es dos, sólo se necesita el símbolo de dos dígitos para escribir los números. Estos dígitos son 1 y 0. Para comprender por qué solamente se necesitan los símbolos de dos dígitos en el sistema binario haremos algunas observaciones acerca del sistema decimal y luego generalizaremos a partir de éste.
Una de las observaciones más sorprendentes respecto de los sistemas de numeración que utilizan el concepto del valor de la posición es que no hay un dígito simple para simbolizar la base. Por ejemplo, en el sistema decimal el símbolo para diez, la base, es 10. Este símbolo está formado con los símbolos de dos dígitos y su significado puede interpretarse como "una base más ninguna unidad". Observe las implicaciones de esto cuando están implicadas otras bases: Todo sistema usa el mismo símbolo para la base como en 10. Además, el símbolo 10 no se llama "diez" excepto en el sistema decimal.
Supongamos que se formara un sistema numérico con cinco como base. Entonces, los únicos símbolos de los dígitos necesarios serían 0, 1, 2, 3 y 4. No se necesita un símbolo particular para 5, puesto que el símbolo 10 en el sistema de base 5 con valor posicional significa "una vez cinco más ninguna unidad". En general, en un sistema numérico que emplee base N el número más grande para el cual se necesita el símbolo de un dígito particular es N - 1. Por tanto, cuando la base es dos los únicos símbolos de dígitos necesarios son 1 y 0.
Un ejemplo de un número binario es el símbolo 101. Podemos descubrir el significado de este símbolo relacionándolo con el sistema decimal. La figura 1 - 2 muestra que el valor posicional de la posición de cada dígito en el sistema binario es dos veces el valor posicional de la posición adyacente a él a la derecha. Compare esto con la figura 1-1, en la cual la base es 10 en vez de 2.

Figura 1-2-. Nombres de las posiciones de los dígitos en el sistema binario.

Colocando los dígitos del número 101 en los respectivos lugares en la figura 1-2 encontramos que 101 significa "un cuatro mas ningún dos más una unidad". Entonces, 101 es el equivalente binario del decimal 5. Si deseamos convertir un número decimal, tal como 7, a su equivalente binario, debemos dividirlo en partes que sean múltiplos de 2; puesto que 7 es igual a 4 más 2 más 1, decimos que él "contiene" un 4, un 2 y una unidad. Por consiguiente, el símbolo binario para el decimal 7 es 111.
El empleo más común del sistema de numeración binaria es en las computadoras electrónicas digitales. Todos los datos que alimentan a una típica computadora digital se convierten a la forma binaria y la computadora realiza sus cálculos utilizando la aritmética binaria en vez de la aritmética decimal. Una de las razones para esto es el hecho de que los equipos eléctricos y electrónicos utilizan muchos circuitos conmutadores en los cuales hay solamente dos condiciones operativas: el circuito "conduce" o "no conduce", y el sistema numérico de dos dígitos es ideal para simbolizar tal situación.

PRACTICA DE PROBLEMAS:
1. Escriba los equivalentes decimales de los números binarios 1101, 1010, 1001 y 1111.
2. Escriba los equivalentes binarios de los números decimales 12, 7, 14 y 3.
Respuestas.
1. 13, 10, 9, y 15.
2. 1100, 111, 1110 y 11.


GRUPOS
Cualquier estudio serio de las matemáticas lleva al estudiante a investigar más de un texto y más de una forma de aproximarse a cada nuevo tópico. En el momento de escribir este curso se está dando mucho énfasis en las escuelas publicas a las llamadas matemáticas modernas. En consecuencia, el estudiante que utilice este curso es probable que encuentre considerable material, en sus lecturas paralelas, que emplean las ideas y terminologías de la "nueva" matemática.
En los párrafos que siguen se presenta una breve introducción a una parte de la teoría de los grupos de la matemática moderna. Si bien el resto del presente curso no está basado en la teoría de los grupos esta breve introducción ayudará a realizar la transición de los métodos tradicionales a los más nuevos, experimentales.

DEFINICIONES Y SIMBOLOS

La palabra "grupo" implica una conexión o agrupamiento de objetos o símbolos similares. Los objetos en un grupo tienen por lo menos una característica en común, tal como la similitud de la apariencia o de propósitos. Un grupo de herramientas podría ser un ejemplo de un grupo de objetos no necesariamente similares en aspecto pero similares en propósitos. Los objetos o símbolos en un grupo se llaman miembros o ELEMENTOS del grupo.
Los elementos de un grupo matemático son generalmente símbolos tales como números, líneas o puntos. Por ejemplo, los enteros positivos mayores que cero y menores que 5 forman un grupo como sigue:
{ 1, 2, 3, 4 }

Observe que las llaves se usan para indicar grupos. Esto frecuentemente se hace donde los elementos del grupo no son tan numerosos.
Dado que los elementos del grupo {2, 4, 6) son los mismos que los elementos (4, 2, 6), estos dos grupos se dice que son iguales. En otras palabras, la igualdad entre grupos no tiene nada que ver con el orden en el cual los elementos están dispuestos. Además, no son necesarios los elementos repetidos. Es decir, los elementos de{2, 2, 3, 4) son simplemente 2, 3 y 4. Por tanto, los grupos (2, 3, 4 } y { 2, 2, 3, 4) son iguales.

PRÁCTICA, DE PROBLEMAS:
1. Use los símbolos correctos para designar el grupo de enteros positivos impares mayores que 0 y menores que 10.
2. Use los símbolos correctos para designar el grupo de nombres de días de la semana que no contienen la letra "m"
S. Escriba los elementos del grupo de números naturales mayores que 15 y menores que 20.
4. Supongamos que tenemos grupos como los siguientes:
A = {1, 2, 3} C = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 2, 3} D = {1, 1, 2, 3}

¿Cuáles de estos grupos son iguales?

Respuestas:
1. { 1, 3, 5, 7, 9}
2. Lunes, jueves, viernes, sábado.
3. 16, 17, 18, y 19
4. A = B = D

SUBGRUPOS.
Puesto que es un inconveniente enumerar los elementos de un grupo cada vez que se lo menciona, a menudo los grupos se designan con una letra. Por ejemplo, puede ser que S represente el grupo de todos los enteros positivos mayores que 0 y menores que 10. En símbolos, esta relación se establecería como sigue:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Ahora supongamos que tenemos otro grupo, T, que comprende todos los pares positivos menores que 10. A este grupo se lo define como sigue:

T = { 2, 4, 6, 8 }

Observe qué cada elemento de T es también un elemento de S. Esto establece la relación del SUBGRUPO; T se dice que es un subgrupo de S.

ENTEROS POSITIVOS
El grupo más fundamental de números es el de los enteros positivos. Este grupo comprende los números que contamos (números naturales) e incluye, como subgrupo, todos los grupos de números que hemos examinado. El grupo de números naturales tiene una característica sobresaliente: es infinito. Esto significa que los elementos sucesivos del grupo continúan creciendo ilimitadamente en tamaño, siendo cada número una unidad mayor que el número que lo precede. Por tanto, no hay un número "rnayor"; cualquier número que eligiéramos como el mayor de todos podría ser aumentado a un número más grande agregándole simplemente 1.
Una forma de representar simbólicamente el grupo de los números naturales sería como sigue:
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Los tres puntos, llamados ELIPSIS , indican que el modelo establecido por los números continúa sin límites. En otras palabras, el número siguiente en el grupo se entiende que es 7, él siguiente es 8, etcétera.

PUNTOS Y LINEAS

Además de los muchos grupos que se pueden formar con símbolos numéricos, frecuentemente encontramos necesario, en matemáticas, trabajar con grupos compuestos por puntos o líneas.
Un punto es una idea, más que un objeto tangible, como lo es un número. La marca que se hace sobre un trozo de papel constituye simplemente un símbolo que representa el punto. En términos estrictamente matemáticos, un punto no tiene dimensiones (tamaño físico) en absoluto. Entonces, el punto de un lápiz es solamente una burda imagen de un punto, útil para indicar la posición de un punto pero que, evidentemente, no debe confundirse con el ideal.
Supongamos ahora que se colocan un gran número de puntos lado a lado para formar una "hilera". Representando este ordenamiento por el dibujo de puntos sobre el papel nos dará una "línea punteada". Si se colocaran más entre los puntos anteriores en la hilera, aumentando el número de éstos hasta que no se pudiera verlos, tendríamos una burda imagen de una línea. De nuevo es importante recalcar que la imagen constituye solamente un símbolo que representa una línea ideal. La línea ideal no tiene longitud ni ancho ni espesor.
La anterior exposición nos lleva a concluir que una línea es en realidad un grupo de puntos. El número de puntos en el grupo es infinito, dado que la línea se extiende sin límites en ambas direcciones.
La idea de ordenar puntos entre sí para formar una línea puede extenderse a la formación de planos (superficies planas). Un plano matemático puede considerarse como el resultado de colocar un número infinito de líneas rectas lado a lado, sin espacio entre las líneas. Entonces, el plano es un grupo de líneas. Otra forma de definir un plano en términos de grupo es considerar el plano como el resultado de colocar puntos lado a lado en todas direcciones. En este caso, el plano es un grupo de puntos y los puntos comprenden todas las líneas en el plano formando un subgrupo.

SEGMENTOS DE LÍNEAS Y RAYAS

Cuando trazamos una "línea", señalamos sus extremos A y B y la llamamos "línea AB", realmente significamos SEGMENTOS DE LÍNEA AB. Un segmento de línea es un subgrupo del grupo de puntos que comprende una línea.
Cuando se considera una línea que tiene un punto de comienzo pero no un punto final (es decir, que se extiende sin límites en una dirección ) se llama RAYA. Una raya no es un segmento de línea, porque no termina en ambos extremos; podría ser apropiado referir la raya como una "media línea”.
Como en el caso de un segmento de línea, una raya es un subgrupo del grupo de los puntos que comprende una línea. Las tres - líneas, segmentos de línea y rayas - son subgrupos del grupo de puntos que comprenden un plano.

LA RECTA NUMÉRICA
Entre los muchos sistemas usados para representar un grupo de números, uno de los más útiles es la recta numérica. Para ilustrar la construcción de una recta numérica coloquemos los elementos del grupo de los números naturales en correspondencia uno - a - uno con los puntos de una línea. Puesto que los números naturales están igualmente espaciados, seleccionamos los puntos tales que las distancias entre ellos sean iguales. El punto inicial se señala como 0, el que sigue, 1, el siguiente, 2, etcétera, usando los números naturales en el orden normal de contar. (Ver fig. 1 - 3.) A tal disposición frecuentemente se la denomina escala y un ejemplo familiar lo constituye la escala del termómetro.
En nuestra exposición no hemos mencionado otros números que los enteros. La recta numérica es un sistema ideal para representar las relaciones entre enteros y otros números tales como las fracciones y los decimales. Es evidente que sobre la línea existen muchos puntos además de aquellos que representan los enteros. Ejemplos de ello son los puntos que representan los números 1/2 (localizado entre 0 y 1) y 2,5 (localizado entre 2 y 3).

Figra 1-3 . La recta numérica.

Surge una cuestión interesante relativa a los puntos "dentro" de la recta numérica: ¿Cuántos puntos (números) existen entre dos enteros cualesquiera? Para responder a esta pregunta supongamos que primero localizamos el punto intermedio entre 0 y 1, que corresponde al número 1/2. Luego localizamos el punto intermedio entre 0 y 1/2, que corresponde al número 1/4. El resultado de la siguiente operación de reducir a la mitad será 1/8; el siguiente, 1/16, etcétera. Si necesitamos más espacio para continuar con nuestras operaciones de reducir a la mitad en la recta numérica podemos agrandar nuestra "imagen" y luego continuar.
Pronto se pone de relieve que el proceso de dividir por la mitad puede continuar indefinidamente: es decir, sin límites. En otras palabras: el número de puntos entre 0 y 1 es infinito.
Lo mismo es cierto para cualquier otro intervalo de la recta numérica. Entonces, entre dos enteros cualesquiera hay un infinito grupo de números además de los enteros. Si esto parecería físicamente imposible, considerando que la punta más aguda del lápiz tiene algún ancho, recordemos que estamos trabajando con puntos ideales, que no poseen dimensiones físicas.
Si bien está fuera del propósito de este curso analizar tópicos tales como los órdenes de infinitud, es interesante notar que el grupo de los enteros contienen muchos subgrupos que son asimismo infinitos. No solamente hay muchos subgrupos de números además de los enteros infinitos, sino además subgrupos tales como el grupo de todos los enteros impares y el grupo de todos los enteros pares. Por intuición vemos que estos dos subgrupos son infinitos, como sigue: Si seleccionamos un entero par o impar particular, que suponemos como el más grande posible, se puede formar de inmediato uno mayor agregándole simplemente 2.
Quizás el uso más práctico para la recta numérica es la explicación del significado de los números negativos. Los números negativos son examinados en detalle mas adelante en este curso.

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