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SUCESIONES O PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Sucesiones o progresiones aritméticas. Representación gráfica. Fórmula del enésimo término. Fórmula del número de términos. Interpolación.

DEFINICIONES. Dados tres o más números en un determinado orden se dice que forman sucesión o progresión aritmética, si cada uno de ellos se obtiene sumándole un número constante al anterior. El número constante se llama razón de la progresión.

Si bien a esta constante correspondería el nombre de diferencia de acuerdo con el papel que desempeña, la costumbre ha impuesto el nombre de razón por analogía con otras progresiones que se estudian más adelante.

EJEMPLO 1º :

La sucesión

2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ;20

constituye una sucesión aritmética de razón 3. pues cada númpro se obtiene sumándole la constante 3 al anterior.

En efecto:

5=2+3 ; 8=5+3 ; 11=8+3 ; etc.

EJEMPLO 2º:

La sucesión 4; 2 ; 0 ; -2 ; -4 ; -6

es también progresión aritmética, de razón -2; pues cada número se obtiene agregando al anterior la constante -2.

En efecto:

2 = 4 - 2 ; 0 = 2 - 2 ; -2 = 0 - 2 ; etc

EJEMPLO 3º :

La sucesión:

constituye una progresión aritmética de razón

En efecto:

Cada uno de los números que constituyen la sucesión se llama término de la sucesión.

Obsérvese que, cuando la razón es positiva, los términos van siendo cada vez mayores, y, cuando la razón es negativa, los términos van siendo cada vez menores. Así gráficamente se tiene que:

La representación gráfica de una progresión aritmética de razón positiva son los puntos de una recta ascendente. La representación gráfica de una progresión aritmética de razón negativa son los puntos de una recta descendente.

Puede ocurrir que la sucesión tenga un número infinito de terminos o bien que tenga un número finito de términos. Una sucesión aritmética de infinitos términos se representa por la siguiente notación:

donde el signo -:- es el símbolo de sucesión aritmética, y los puntos suspensivos expresan que existen infinitos términos antes de f e infinitos términos después de j.

En una progresión aritmética de un número finito de términos, el primer término se representa, en general, por la letra a; el último, por l; el número de términos, por n, y la razón, por r. Es decir, simbólicamente:

y, de acuerdo con la definición, debe verificarse que:

o bien, lo que es equivalente:

es decir, que en toda progresión aritmética cada término es igual al que le sigue menos la razón

o bien aún:

es decir, que en toda progresión aritmética la diferencia entre cada témino y el que le antecede es igual a la razón.

EJEMPLO:

es una progresión aritmética de un número finito de términos, donde

Fórmula del enésimo término. Conocidos el primer término de una progresión aritmética de un número finito de términos, la razón y el número de términos, calculando sucesivamente, de acuerdo con la definición, el segundo término, el tercero, etc., se puede llegar a obtener el último término de esa progresión. Pero, cuando el número de términos es grande, el cálculo se hace sumamente largo; entonces conviene establecer una fórmula que dé directamente el último término en función del primero, la razón y el número de términos.

TEOREMA. El último término de una sucesión aritmética es igual al primer, término, más el producto de la razón, por el número de términos menos uno.

Demostración. Como, por hipótesis:

es una sucesión aritmética de n términos, debe verificarse que:

Son (n -1) igualdades, pues éstas comienzan a formarse a partir del segundo término y, si en total son n términos, a partir del segundo son (n -1) .

Sumando miembro a miembro las (n -1) igualdades, se tiene:

Pero en el primer miembro, se reducen el minuendo de cada paréntesis con el sustraendo del siguiente, quedando entonces únicamente el sustraendo -a del primer paréntesis y el minuendo 1 del último, es decir:

sustituyendo en [1], se tiene:

y pasando a al segundo miembro, resulta:

que es la tesis.

Fórmulas del primer término, de la razón y del número de términos. Estas fórmulas se deducen de la del último término. efecto:

En efecto

FÓRMULA DEL PRIMER TÉRMINO

Siendo 

pasando r (n -1) al primer miembro, se tiene:

o sea :

que expresa: El primer término de una sucesión aritmética es igual al último, menos el producto de la razón, por el número de términos menos uno.

FÓRMULA DE LA RAZÓN

y pasando el factor (n -1) al 1er. miembro. resulta:

que expresa: La razón de una sucesión aritmética es igual a la difererencia del último término menos el primero, dividida por el número de términos menos uno.

FÓRMULA DEL NÚMERO DE TÉRMINOS

que expresa: El número de términos de una sucesión aritmética es igual al cociente de la diferencia del último término menos el primero dividida por la razón, más uno.

EJEMPLOS:

1º En una progresión aritmética de seis términos y de razón -1/2 el primer término es 1. ¿Cuál es el último término?

Aplicando la fórmula:

2º En una sucesión aritmética de once términos, los dos últimos son ordenadamente -3/7 y 1 ¿Cuál es el primer término?

Se aplica la fórmula:

En este caso:

Además en este problema no se da la razón, pero, como se conocen los dos últimos términos, que son consecutivos, la razón puede calcularse fácilmente como diferencia de los mismos, es decir:

39 El primero y último términos de una sucesión aritmética de cinco términos son respectivamente 0,1 y -3/4. Calcular la razón .

Se aplica la fórmula:

4º ¿Cuántos términos tiene una progresión aritmética de razón 2/5 , sabiendo que el segundo término es 0 y el último 18/5 ?

Se aplica la fórmula:

No se conoce el primer término, pero puede calcularse fácilmente, dado el segundo y la razón, como diferencia de éstos, es decir:

Reemplazando en [1], se tiene:

INTERPOLACIÓN. Dados dos términos de una sucesión aritmética, interpolar los términos comprendidos entre ellos significa calcular los términos que se encuentran entre los dos términos dados.

Para ello es necesario conocer la razón, y por sumas sucesivas se calculan los términos que hay que interpolar.

EJEMPLO:

Interpolar cinco términos entre 8 y 20.

Para calcular la razón, se considera que los dos términos dados y los cinco que hay que interpolar entre esos dos forman una progresión aritmética de siete términos, en que el primero es 8 y el último 20.

Luego, la razón es:

Por lo tanto:

Él 1er. termino a mterpolar es 8 + 2= 10

El 2º término a interpolar es 10 + 2= 12

El 3er. término a interpolar es 12 + 2= 14

El 4º término a interpolar es 14 + 2= 16

El 5º término a interpolar es 16 + 2= 18

Luego, se tiene la progresión aritmética:

Suma de dos términos equidistantes de los extremos en una sucesión aritmética finita. Sea la siguiénte sucesión aritmética:

En esta progresión el primer y el último ténninos, vale decir los extremos, son 2 y 16; el segundo término y el penúltimo, o sea 4 y 14, se dicen equidistantes de los extremos; también se llaman así el tercero y el antepenúltimo o sea, 6 y 12, etc., es decir, son términos equidistantes de los extremos, los pares de términos tales que el número de términos comprendidos entre uno de ellos y el primero sea igual al número de términos comprendidos entre el otro y el último. Así, son también términos equidistantes de los extremos en la progresión anterior; 8 y 10.

Se calcula la suma de cada par de términos equidistantes de los extremos en la progresión anterior, es decir:

Se ve que la suma de cada par de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.

Esta observación es general para cualquier sucesión aritmética finita y se enuncia:

En una sucesión aritmética finita la suma de cada par de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los términos extremos.

Simbólicamente:

En efecto:

Por definición de sucesión aritmética es:

El mismo razonamiento aplicado a los demás pares de términos equidistantes de los extremos lleva a establecer que:

que es lo que se quería probar.

Suma de los n términos de una sucesión aritmética finita. La suma de los n términos de una sucesión aritmética finita es igual a la semisuma de los términos extremos, por el número de términos.

Simbólicamente:

En efecto:

es también, por propiedad conmutativa de la suma:

Sumando miembro a miembro estas igualdades, y por columnas en el segundo miembro, se tiene:

Cada uno de los n paréntesis del segundo miembro es la suma de dos términos equidistantes de los extremos; luego cada una de esas sumas es igual a la suma de los extremos, es decir:

Pasando el factor 2 al segundo miembro, como divisor, resulta:

que es la relación que se quería establecer.

EJEMPLOS:

1º Calcular la suma de los doce términos de una sucesión aritmética cuyos dos primeros términos son ordenadamente 3 y 2,8.

Para obtener la suma es necesario calcular previamente l para lo cual se necesita conocer la razón.

2º Hallar la suma de los siete primeros términos de una sucesión aritmética infinita de razón 1/3 cuyo primer término es 2.

Aplicando la fórmula:

3º Calcular la suma de los cinco últimos términos de una progresión aritmética de doce términos cuyo primer término es -3, y la razón, 4.

Los cinco últimos términos cuya suma se debe calcular constituyen una progresión parcial donde los extremos son: a' igual al octavo término de la progresión total, es decir

y l último término de la progresión total, es decir:

Se resuelve el problema, aplicando la fórmula:

 

 

 

 


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