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Movimiento. Movimiento de traslación y rotación. Movimiento rectilíneo y uniforme. Velocidad.


 

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CINEMÁTICA

Movimiento. Movimiento de traslación y rotación. Movimiento rectilíneo y uniforme. Velocidad. Leyes. Representación gráfica.

Llamamos cinemática al estudio de los cuerpos en movimiento, sin considerar las causas que lo producen o modifican.

MOVIMIENTO

Idea de movimiento

Al observar el proceso que se realiza cuando el Sol hace su aparición por el Este para efectuar su itinerario por la bóveda celeste, o el simple paso de un avión o un tren ante nosotros, tenemos la perfecta idea de movimiento.

Si, instalados en el banco de una plaza, observamos a varios niños jugando a la rueda, mientras que otros se hallan placenteramente sentados y leyendo, decimos que los primeros se mueven y los otros no.

Ello, en el valor absoluto de ese medio, como es la plaza; pero si pensamos que nosotros o los que están sentados "ven" que el atardecer los ha sorprendido en ese lugar, es porque "se han movido" también, no ya respecto del banco o del compañero que tienen a su lado, sino respecto del Sol.

De todo esto surge que un cuerpo puede estar en movimiento o en, reposo según los puntos de referencia que se consideren.

Así, el niño sentado está en reposo respecto del banco, pero está en movimiento si lo consideramos como perteneciente a la Tierra, que, a su vez, se mueve respecto del Sol.

Decimos que un objeto se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro cuando su posición, medida relativa al segundo cuerpo, está cambiando con el tiempo.

Por otra parte, si esta posición relativa no cambia con el tiempo, el objeto se encuentra en reposo relativo. Tanto el movimiento como el reposo son conceptos relativos; esto es, dependen de la condición del objeto con relación al cuerpo que se usa como referencia.

Un árbol y una casa se encuentran en reposo relativo con respecto a la tierra, pero en movimiento con respecto al sol. Cuando un tren pasa por una estación decimos que el tren está en movimiento relativo con respecto a la estación.

Pero un pasajero del tren bien puede decir que la estación se encuentra en movimiento en la dirección opuesta. Por ello, para describir un movimiento, entonces, el observador debe definir un sistema de referencia con relación al cual se describe el sistema en movimiento.

En la Fig. 1 hemos indicado dos observadores O y O' y una partícula P. Estos observadores utilizan lo sistemas de referencia XYZ y X'Y'Z. respectivamente. Si O y O' se encuentran en reposo entre sí, observarán el mismo movimiento de P. Pero si O y O' se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones del movimiento de P serán diferentes.

Figura 1. Dos observadores diferentes estudian el movimiento de P.

Figura. Orbita de la luna con respecto a la tierra y al sol. La distancia tierra-luna es solamente 4 x 10-3 la distancia tierra-sol. Las ondulaciones en la órbita lunar se han exagerado considerablemente.

Por ejemplo, consideremos dos observadores, uno sobre el sol y el otro sobre la tierra (ver figura) estudiando ambos el movimiento de la luna. Para un observador terrestre que usa el sistema de referencia X'Y'Z', la luna parece describir una órbita casi circular alrededor de la tierra. Sin embargo, para el observador situado en el sol, que usa el sistema XYZ, la órbita de la luna aparece como una línea ondulante. Sin embargo, si los observadores conocen su movimiento relativo, pueden fácilmente reconciliar sus observaciones respectivas.

Por todo ello, diremos que movimiento es el cambio de posición de un cuerpo, con respecto a un punto considerado fijo, a medida que transcurre el tiempo.

Supongamos (fig. 1a) que los ejes OX y OY, perpendiculares, representen dos avenidas fundamentales en el trazado de una ciudad, y que un móvil, situado primitivamente en A, esté, después de cierto tiempo, en B, y posteriormente en C.

Figura 1a. Idea de movimiento respecto de dos ejes. Figura 1b. Movimiento de un móvil con respecto de un sistema de ejes.

La posición en A es a 3 cuadras de X y a 2 cuadras de Y; en B, a 4 cuadras de X y a 4 cuadras de Y; en C, a 2 cuadras de X y a 6 cuadras de Y.

Es decir que las posiciones del cuerpo respecto de las avenidas han cambiado con respecto al tiempo transcurrido. Matemáticamente hablando, los ejes OX y OY representan un sistema de ejes cartesianos.

El eje OX se llama eje de las abscisas, y el OY, eje de las ordenadas.

Los valores simultáneos de la posición en A se llaman coordenadas del punto A.

Por ello, diremos que las coordenadas del punto A son (figura 1 b).

X1 = 3 e Y1 = 2;

del punto B,

X2 = 4 e Y2 = 4;

del punto C,

X3 = 2 e Y3 = 6;

o sea que, al cambiar la posición del cuerpo, han variado las coordenadas de esos puntos.

Decimos, entonces, que un punto o un cuerpo está en movimiento, respecto de un sistema de coordemadas considerado fijo, cuando las coordenadas de ese punto varían con respecto al tiempo transcurrido.

Ejemplo. Hallándonos sentados en un medio de transporte, ¿estamos en movimiento o en reposo? Ambas cosas: en movimiento con respecto al paisaje; en reposo con respecto a los puntos del vehículo.

Análogamente, sentados en casa, leyendo, estaremos:

a) En reposo respecto de un punto de la habitación;

b) En movimiento respecto de un punto del cielo (Sol, estrella), ya que giramos con la Tierra.

Con lo cual queda aclarado que el fenómeno dependerá del sistema de coordenadas elegido.

Figura 2. Travectoria descrita por un móvil.

TRAYECTORIA. Es la figura formada por los distintos puntos que va ocupando el móvil (cuerpo en movimiento) a medida que transcurre el tiempo.

Si la figura descrita es una recta, la trayectoria es rectilínea. Si la figura descrita es una parábola, la trayectoria se llama parabólica. Si el móvil describe una circunferencia, la trayectoria se denomina circular (fig. 2).

Movimiento de traslación

Traslación. - Un cuerpo realiza un movimiento de traslación cuando una recta AB que une dos cualesquiera de sus puntos se mantiene paralela a sí mismo en todas sus posiciones. (fig. 4)

Una traslación es producida por una fuerza o sistema de fuerzas que admiten una resultante. Si la fuerza es instantánea, la traslación será rectilínea uniforme; en cambio, si es constante, el movimiento será uniformemente variado; por último, con fuerza variable, se tendrá un movimiento variado.

Movimiento de rotación

Un cuerpo realiza movimiento de rotación cuando uno de sus puntos describe una circunferencia o arcos de circunferencia (figura 3).

El movimiento es de rotación cuando dos de los puntos del cuerpo permanecen fijos. La tierra realiza, alrededor de su eje, un movimiento de rotación. La rotación es producida por una cupla o por un sistema de fuerzas que admiten una cupla como resultante.

La Tierra, por ejemplo, posee dos movimientos: de traslación, alrededor del Sol, y de rotación, sobre su eje.

Estudio cinemático y dinámico de un movimiento

El estudio cinemático es el realizado sin tener en cuenta las causas que originan el movimiento.

El estudio dinámico es el que considera las fuerzas que provocan ese movimiento.

Movimiento de un punto material.

Un punto material es un cuerpo muy pequeño, cuyas dimensiones no se tienen en cuenta. En otros términos, es un punto geométrico en que se supone condensada cierta cantidad de materia. Un punto material está en movimiento cuando ocupa sucesivamente posiciones diferentes respecto de puntos de comparación considerados como fijos. Caracterizan el movimiento de un punto material su trayectoria y la ley de su movimiento.

Llamase móvil, al cuerpo que se mueve, y trayectoria, el camino recorrido por el móvil.

La trayectoria puede ser una línea recta o curva, como por ejemplo la vía férrea recorrida por un tren, circular, como las circunferencias que describen los diferentes puntos de un volante que gira alrededor de su eje; elíptica como las órbitas de los planetas; parabólica como la trayectoria de un proyectil lanzado horizontalmente en el vacío, etc.

El movimiento es absoluto cuando los puntos de referencia son fijos y es relativo si dichos puntos se mueven.

Ya que todos los cuerpos se mueven, en realidad, el movimiento absoluto no existe; pero, sobre la tierra, se puede considerar como absoluto, el movimiento de un tren con relación a la estación, y como relativo, el de un viajero que camina en el tren en marcha, con relación al asiento que quiere ocupar.

El movimiento de los árboles que parecen alejarse del tren es un movimiento aparente.

MOVIMIENTO RECTILlNEO

El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. Consideremos que el eje OX de la fig. 2a coincide con la trayectoria. La posición del objeto está definida por su desplazamiento medido desde un punto arbitrario O, u origen.

Figura 2a. movimiento de un cuerpo

En principio, el desplazamiento puede relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional x = f(t). Obviamente, x puede ser positiva o negativa. Supongamos que en el tiempo t el objeto se encuentra en la posición A, siendo OA = x. Más tarde en el tiempo t', se encuentra en B, siendo OB = x'. La velocidad promedio entre A y B está definida por

    (1)

donde Δx = x' - x es el desplazamiento de la partícula y Δt = t' - t es el tiempo tiranscurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo de tiempo es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para determinar la velocidad instantánea en un punto, tal como A, debemos hacer el intervalo de tiempo Δt tan pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo.

En el lenguaje matemático esto es equivalente a calcular el valor límite de la fracción que aparece en la ecuación (1) cuando el denominador Δt tiende a cero. Esto se escribe en la forma

Pero ésta es la definición de la derivada de x con respecto al tiempo; esto es

     (2)

de modo que obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo. Operacionalmente la velocidad instantánea, se encuentra observando al cuerpo en movimiento en dos posiciones muy cercanas separadas por una pequeña distancia dx y midiendo el intervalo de tiempo dt necesario para que vaya de una posición a la otra. En el futuro el término “velocidad” se referirá siempre a la velocidad instantánea.

Si conocemos v = f(t), podemos obtener la posición x integrando la ec. (1). De la ec. (2) tenemos dx = v dt; luego, integrando, obtenemos

donde x0 es el valor de x en el tiempo t0.

Y, puesto que

entonces,

      (3)

Para entender el significado físico de la ecuación (3), se deberá tener en cuenta que v dt representa el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo diferencial dt. Luego, dividiendo el intervalo de tiempo t —t0 en intervalos pequeños sucesivos dt1, dt2, dt3, dt4.., encontramos que los desplazamientos correspondientes son v1 dt1,v2 dt2,v3 dt3,v4 dt4, ..., y el desplazamiento total entre t0 y t es la suma de todos éstos. Debe notarse que v1, v2, v3 ... son los valores de la velocidad en cada intervalo de tiempo. Entonces, de acuerdo al significado de una integral definida,

Debemos observar que el desplazamiento Δx (o dx) puede ser positivo o negativo dependiendo de si el movimiento de la partícula es hacia la derecha o hacia la izquierda, dando por resultado un signo positivo o negativo para la velocidad.

Así el signo de la velocidad en movimiento rectilíneo indica la dirección del movimiento. La dirección es de + OX si la velocidad es positiva, y la de - OX si es negativa.

Algunas veces se utiliza el concepto de velocidad, definida como distancia/tiempo. Siempre es positiva, y es numéricamente igual a la magnitud de la velocidad; es decir, velocidad = |v|. Sin embargo, en general, la velocidad promedio usando esta definición no tiene el mismo valor que la velocidad promedio de la expresión (1). También es importante no confundir el “desplazamiento” x — x0 en el tiempo t — t0 con la “distancia” cubierta en el mismo tiempo.

En el sistema de unidades MKSC, la velocidad se expresa en metros por segundo, o ms-1, siendo ésta la velocidad de un cuerpo que se desplaza un metro en un segundo con velocidad constante. Evidentemente, la velocidad puede expresarse con una combinación cualquiera de unidades de espacio y tiempo; tales como millas por hora, pies por minuto, etc.

Problema ejemplo.Una partícula se mueve a lo largo del eje X de manera que su posición en cualquier instante t está dado por x = 5t2 + 1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre

(a) 2 s y 3 s,

(b) 2 s y 2,1 s,

(c) 2 s y 2,001 s,

(d) 2 s y 2,00001 s.

Calcular también (e) la velocidad instantánea a los 2 s.

Solución:

 

Cuando t = 2, obtenemos v =20 m s-1 que es la respuesta a la pregunta (e).

 

MOVIMIENTO RECTILlNEO UNIFORME

Estudio cinemático

Observemos el paso de un automóvil por una carretera rectilínea (fig. 5). Recorre: en el primer minuto, 600 m; en el segundo, 600 m, y van recorridos 1200 m; en el tercero, 600 m, y van recorridos 1 800 m; en el cuarto, 600 m, y van recorridos 2 400 m.

Figura 3. Movimiento de traslación: el eje de la Tierra mantiene su paralelismo.

Figura 4. Traslación : el segmento AB adopta posiciones paralelas a la primitiva

Figura 5. Movimiento uniforme: espacios iguales en tiempos iguales.

 

Movimiento uniforme. - Es aquel en el cual el móvil en tiempos iguales recorre espacios iguales. En el  movimiento uniforme la velocidad es constante. (Único movimiento que no tiene aceleración.)

Si continúa así indefinidamente, diremos que se mueve de modo "uniforme". Llegamos, pues, a la definición del movimiento rectilíneo uniforme:

Movimiento rectilíneo uniforme es aquel en el cual el móvil describe una trayectoria rectilínea y recorre espacios iguales en tiempos iguales.

Se llama velocidad del movimiento uniforme al espacio recorrido durante un segundo.

Ejemplo: El sonido y la luz se propagan con movimiento uniforme: el sonido con una velocidad de 340 metros por segundo cada segundo y la luz a razón de 300.000 kilómetros por segundo, también cada segundo.

En un movimiento uniforme, la definición de la velocidad es la siguiente:

Velocidad es el espacio o distancia recorrido en cada unidad de tiempo.

También puede ser ésta:

Velocidad es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado.

En símbolos,

donde

  • v = velocidad,
  • e = espacio,
  • t = tiempo.

Unidades de velocidad

a) Para e medido en centímetros y t en segundos es

v = cm/seg;

b) Para e medido en metros y t en minutos es

v = m/min;

c) Para e medido en kilómetros y t en horas es

v = km/h;

d) Para e medido en millas y t en horas es

v = milla/h;

e) Para e medido en kilómetros y t en segundos es

v = km/seg.

Debemos dejar bien aclarado que cuando decimos que la velocidad del avión de chorro es de 1 200 km por hora, o que el expreso Buenos Aires a Mar del Plata realizó el viaje a 90 km por hora, significa por cada hora.

Esta forma de expresión nos da cabal idea del sentido físico de la velocidad, es decir que, al expresar 90 km por hora, significa que el móvil recorre 90 km cada hora.

Deberíamos decir 90 km sobre hora, o 90 km cada hora, o 90 km en la hora, y así no incurriríamos en errores.

Tampoco debemos olvidar de expresar la velocidad indicando las dos unidades. Muchas veces oímos decir que la velocidad de tal vehículo es de 55 km y la de aquel otro de 120 km. Nunca puede expresarse de ese modo, pues si los 55 km del primer caso se recorren en 20 min y los 120 km del segundo en 5 h, es evidente que el primero posee mayor velocidad.

Leyes del movimiento uniforme:

1º La velocidad es constante.

2º Los espacios son proporcionales a los tiempos. En efecto, si para un tiempo, t1 .

e1= vt1

y para otro tiempo t2 .

e2= vt2

al dividir ordenadamente las dos igualdades, tendremos:

Representación gráfica del movimiento uniforme. 1º Se traza una abscisa AD (ver figura ) y se la divide en partes iguales, que representan las unidades de tiempo (1s, 2s, 3s ... ts).
2º A partir del punto inicial (1s), por cada uno de los puntos 1s, 2s, 3s ..., se levanta una ordenada (1sB, 2sa ... tsC) , cuya longitud ha de ser proporcional a la velocidad en el tiempo correspondiente: pero, como dicha velocidad es constante resulta que son iguales todas las ordenadas.

3º Se une por una recta BC la extremidad de todas las ordenadas y se tiene formado así un rectángulo, de base (1t) o tiempo t y de altura (1B) o velocidad v, cuya superficie representa los espacios recorridos e.

Y se tiene:

 

 

 


 


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