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De las Magnitudes y las Cantidades. Definición. Coeficientes numéricos y símbolos. Las dos clases de Magnitudes: escalares y vectoriales. Estudio de los vectores, su representaeión gráfica. Operaciones con vectores: sumas y restas geométricas.


 

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Magnitudes y Cantidades -Definiciones

Cuerpos rígidos. - Todos los cuerpos se deforman más o menos bajo la acción de las fuerzas. Pero se consideran como cuerpos rígidos, es decir, cuerpos ideales, los que no sufren deformaciones, y que por lo tanto conservan su forma inicial.

Cuerpos elásticos. - Son cuerpos que se deforman de un modo apreciable bajo la acción de las fuerzas, pero que vuelven a su forma inicial, cuando cesa la acción que los había deformado, con tal que la deformación no haya pasado cierto límite de seguridad.

1) MAGNITUDES. -Adoptaremos como definición:

"Las Magnitudes son entes abstractos, medibles y susceptibles de ser representadas por un número o coeficiente numérico y un símbolo o unidad ".

Analizaremos esta definición.

El símbolo o unidad, es el qué nos indica la naturaleza de una determinada magnitud y es característica de la misma y cuyo grandor, comparado con dicha unidad elegida, que sirve además para medirla, está indicado por un número o coeficiente numérico.

Un determinado "estado" de una mágnitud se denomina cantidad.

Así, por ejemplo, son magnitudes, las longitudes, los pesos, los tiempos y determinados estados de las mismas, como ser, 35 metros, 18 kilogramos, 30 segundos, son cantidades.

En la cantidad 35 m., estado particular de la magnitud longitud, 35 es el coeficiente numérico y mide su grandor comparado con la unidad o símbolo, el metro, que además nos indica su naturaleza. Dicho coeficiente indica las veces que la unidad contenida en la cantidad dada.

La unidad de comparación de las diferentes cantidades de una determinada magnitud, es arbitraria, pero su elección, en general, es tomada de la Naturaleza, y en lo posible, invariable.

Así, en el ejemplo anterior, se ha adoptado como unidad el metro, (m), "diezmillonésima parte de la longitud del cuarto de meridiano terrestre, que pasa por París".

Dentro de una misma magnitud puede definirse la igualdad y la suma, siendo imposible el efectuarlo entre magnitudes de diferente naturaleza.

En efecto, tenemos que, por ejemplo, 10 m. + 5 m. = 15 m.; en cambio, aparte de no poder efectuar comparaciones de carácter físico (de color, de peso, de dureza, etc.) entre sus términos no tiene sentido la expresión: 3 m. + 5 kg.

Hemos dicho también, en nuestra definición, que las magnitudes son entes abstractos:

"Los conceptos abstractos son elaborados mediante una operación intelectual llamada abstracción, que consiste en observar, en los objetos homogéneos, sus caracteres comunes, prescindiendo (haciendo abstracción) de sus otras cua lidades". (J. Rey Pastor. "Curso Cíclico de Matemáticas ". T. I.)

Así, por ejemplo, al hacer comparación de pesos, hacemos abstracción de las otras cualidades de los objetos al comparar, tales como su forma, dimensiones, color, etc.

Hay otras dases de magnitudes que no quedan completamente definidas por el símbolo y el coeficiente numérico, debiendo cumplir, además, otras condiciones físicas, como veremos a continuación.

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2) LAS DOS CLASES DE MAGNlTUDES: ESCALARES Y VECTORIALES. -Las diferentes magnitudes pueden agruparse en dos grandes grupos o familias, según las condiciones físicas que deben cumplir: las escalares y las vectoriales.

Magnitudes escalares. -Son las que quedan determinadas solamente por un coeficiente numérico y un símbolo o unidad de comparación, por ejemplo: 35 m., 0,5 kg., etc.

Magnitudes vectoriales. -Son aquéllas en las cuales, a más de definir su grandor y su símbolo, deben dejarse establecidos dos nuevos elementos: la dirección y el sentido. Así, por ejemplo, en una velocidad 20 m/seg., 20 es el coeficiente numérico; m/seg. la unidad (metro por segundo). Como magnitud vectorial debe establecerse además, la dirección, dada por una recta (o por la tangente a la curva de la trayectoria del móvil, si ésta no es lineal) y el sentido, o sea cual de las dos semi-rectas de la misma, definen su movimiento elemental.

Por ejemplo, al considerar la velocidad de un avión, esta no está completamente determinada, al indicar que marcha a razón de 300 km. por hora, debiendo además indicar su dirección y su sentido, es decir, su rumbo, si el mismo se desplaza horizontalmente.

Debemos hacer notar, sin embargo, que si se prescinde de la dirección y el sentido, este tipo de magnitud deja de ser vectorial para convertirse en escalar, teniendo también sentido real.

Las magnitudes escalares pueden llamarse también lineales, ya que, gráficamente, pueden representarse por los puntos de una recta, referidos a un segmento cuya longitud ha sido adoptada como unidad.

Así, por ejemplo, podemos representar 5 m por el segmento de la figura 1, medido en la escala indicada, o lo que es lo mismo, de acuerdo al dibujo, en la escala 1m/cm ( 1 metro representado por 1 centímetro).

Fig. 1

Las magnitudes vectoriales se denominan también complejas o dirigidas y pueden ser representadas por los puntos de un plano. como veremos a continuación.

3) VECTORES: SU REPRESENTACION GRAFICA. Como hemos dicho, deben cumplir las 3 condiciones:

a) tener un coeficiente numérico que mide su grandor respecto a una unidad o símbolo;

b) estar determinada su dirección y

c) dentro de dicha dirección debe estar determinado su sentido.

Se representa por un segmento determinado por 2 puntos del plano que lo contiene.

La longitud de dicho segmento o distancia entre los 2 puntos respecto otro segmento (escala) tomado como unidad nos mide su grandor.

En la figura 2, el vector representa una velocidad de 2,5 m. por segundo. La recta en el espacio A B, indica su dirección, y la flecha indicada en el mismo o el sentido AB de los 2 puntos (de A hacia B) nos determina su sentido.

Fig. 2

Hay otra condición que pueden o no cumplir los vectores y es la de poseer un punto de aplicación. En efecto, los vectores pueden ser libres o aplicados. Vemos también en otras páginas, al estudiar la acción de las fuerzas sobre los cuerpos o "sistemas de cuerpos" de utilizar uno y otro tipo de vectores.

4) IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores son iguales cuando teniendo el mismo grandor (con la palabra grandor involucramos coeficiente numérico y símbolo) tienen también la misma dirección y el mismo sentido, tengan o no el mismo punto de aplicación.

Fig. 3

De aquí la siguiente regla del paralelogramo: Dos vectores son iguales cuando los 4 puntos que los determinan forman un paralelogramo. (Por supuesto que debiendo formar un paralelogramo, deben ser coplanares).

Vector AB = vector CD.

5) NOTACIONES. En la escritura, los vectores suelen indicarse con una letra mayúscula, con o sin un guión en la parte superior A (vector A), V (vector V) o como una diferencia entre 2 puntos

B.A = vector AB

D.C= vector CD

La letra minúscula sin guión, igual a la que nos representa el vector, se utiliza para indicar el escalar que mide a dicho vector, y se denomina módulo del vector.

Por ej., si el vector U nos indica una velocidad de 10 m/seg comprendiendo que en el mismo están determinadas la dirección y el sentido; el módulo de dicho vector, u es un escalar que nos indica la velocidad 10 m/seg haciendo abstracción de la dirección y el sentido.

OPERACIONES CON VECTORES

6) SUMA. -Para sumar varios vectores gráficamente, debemos llevarlos sucesivamente uno a continuación del otro; el segmento que une el primer punto (u origen) del primer vector sumando con el último punto (o extremidad) del último vector sumando, es también un vector y se denomina vector suma o vector resultante. La operación indicada se denomina suma geométrica y se indica como una suma corriente U1 + U2 = V (siendo vectores queda sobreentendido que es una suma geométrica).

 

No es necesario que los vectores sean coplanares para efectuar su suma (suma geométrica); para los vectores vectoreds en el espacio, la regla es la misma.

Para hacer la indicación de suma podemos abreviar la escritura mediante el empleo de la letra griega (sigma mayúscula) como signo de sumatoria, mediante la siguiente notación:

que indica: suma de los vectores Ui para i =1, i = 2, i = 3, i = 4, y que se lee suma de los vectores Ui para ¡ variable desde 1 a 4.

Propiedad conmutativa. -El orden en que se lleve los vectores sumandos no altera la suma geométrica.

Propiedad asociativa. Dos o más vectores sumandos pueden ser reemplazados por su suma parcial.

7) RESTA O DIFERENCIA DE VECTORES. La diferencia entre 2 vectores U1 y U2 (U1 - U2) es igual a la suma del vector U1 con el vector (-U2 ), vector de sentido contrario al U2.

También se obtiene el vector diferencia, llevando el U2  a partir del origen del  U1 . El segmento que va desde el extremo del vector sustraendo hasta el extremo del vector minuendo, da dicha diferencia.

En efecto: si V = U1 - U2 será V + U2 = U1 condición que se cumple en el procedimiento empleado.

8) PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NUMERO. Es otro vector cuya dirección y sentido son los del vector dado, y el módulo queda multiplicado por dicho número dado.

Si efectuamos el producto del vector U por el número m, obtenemos un nuevo vector V cuyo módulo es m veces el módulo del U

v= m.u

Es equivalente a la suma de m vectores iguales a U.

Notación: V = mU

9) PRODUCTOS ENTRE VECTORES. -Producto escalar. Se llama producto escalar entre dos vectores U y V a un escalar dado por el producto de los módulos u y v multiplicados por el coseno del ángulo formado por los vectores dados.

Notación: U X V = uv cos (U, V) Y se lee: U escalar V.

Equivale al producto del módulo de V por el módulo de la proyección del U sobre la dirección del V o viceversa.

Producto vectorial, geométrico o bivector. -Se llama producto vectorial de dos vectores U1, U2, que se escribe U1 ∧ U2 y se lee U1 vector U2, a un tercer vector V cuyo módulo v, es igual al producto

, su dirección es perpendicular al plano de los vectores U1 y U2 y su sentido es tal que un observador colocado según este vector producto V y observando en el sentido de izquierda a derecha ve los vectores factores en el orden U1, U2

V = U1 ∧ U2

siendo

v = = superficie del paralelogramo determinado por estos dos vectores.

 

 

 

 


 


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