PÉNDULO
Juego o transformación de la energía en el péndulo
Llamamos péndulo a todo cuerpo suspendido que puede oscilar alrededor de un punto fijo; por ejemplo, un columpio, una lámpara, un badajo de campana, etc.
Prácticamente. podemos construir un péndulo suspendiendo de
un hilo inextensible y liviano (idealmente sin peso) una esferita de madera, de metal, etc. (figura 22).
Figura 22. Péndulo físico
Al estar suspendido, el péndulo adoptará la posición OA, según la atracción de la gravedad. Separémaslo de esa posición de equilibrio, llevándolo a la posición OB y dejándolo luego libre (fig. 23),
comenzará a oscilar, es decir, de B
pasará a A y seguirá hasta C, de C pasará a A y seguirá hasta B, y así sucesivamente.
Figura 23. Juego de la energía en el péndulo.
¿Qué ocurre? ¿Por qué este fenómeno y cómo se explica? Por el llamado juego de la energía en el péndulo.
Cuando el péndulo es sacado de su posición de equilibrio OA y pasa a la posición OB, la esferita está más alta, es decir, adquiere una cierta energía potencial. Si soltamos el péndulo, comienza a moverse según la fuerza F, que resulta de descomponer la fuerza P (peso) según dos direcciones (recordemos la descomposición de fuerzas en el péndulo). Al llegar a C, ocurre el mismo fenómeno que en B.
Ya hemos dicho que en OB el péndulo posee o adquirió una cierta energía potencial. Al dirigirse hacia la posición OA, se transforma en energía cinética y se mueve con movimiento acelerado.
Al llegar al punto A, el péndulo, por inercia, sigue hasta C, produciéndose el proceso inverso, y al llegar a C se transforma en potencial (debemos imaginar que, al no subir más, sufre una detención, momento en que toda su energía es potencial).
Este proceso vuelve a repetirse de acuerdo con lo explicado, por lo que el péndulo continúa oscilando.
En síntesis:
1) Al llegar a la posición A:
- la energía cinética es máxima;
- la energía potencial es cero;
2) Al llegar a la posición B:
- la energía cinética es cero;
- la energía potencial es máxima.
Si consideramos nula la resistencia del aire y los rozamientos en el soporte, la energía potencial en B tendría que ser igual a la energía potencial en C; en consecuencia, el péndulo continuaría oscilando indefinidamente y efectuaría un movimiento continuo.
Figura 24. Acción de la gravedad en el movímiento pendular.
Pero la existencia de los rozamientos enunciados hace que parte de esa energía se vaya transformando en energía calórica y, por lo tanto, las oscilaciones vayan siendo cada vez menores (en amplitud), hasta hacer detener el péndulo.
Existe otro factor muy importante que tiende a hacer parar el péndulo: la fuerza de atracción de la gravedad (fig. 24). Recordemos que la fuerza de atracción de la gravedad actúa de modo que todos los cuerpos tienden a dirigirse hacia el centro de la Tierra.
Si observamos la figura 24, deducimos inmediatamente que la posición de reposo OA es la más cercana a esa situación; de ahí que la acción de la fuerza de la gravedad tienda a hacer detener el péndulo.
Leyes del péndulo
Para el estudio de las llamadas
leyes del péndulo debemos fijar
ciertos conceptos (fig. 25).
Figura 25. Péndulo: longitud (l),
oscilación simple (arco AB), oscilación doble (arco ABA), amplitud
(α).
- Longitud del péndulo (l). Distancia entre el punto de suspensión
y el centro de gravedad del péndulo.
- Oscilación simple. Trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB).
- Oscilación completa. Trayectoria descrita desde una posición extrema, volviendo a la misma después de pasar por la otra posición extrema (arco BCB).
- Angulo de amplitud o amplitud (α). Ángulo formado por la posición
de reposo y una de las posiciones
extremas (ángulo AOB o
ángulo AOC).
- Tiempo de oscilación (T). El empleado por el péndulo en cumplir una oscilación doble (o completa).
LEY DE LAS MASAS.
Suspendamos de un soporte (barra, listón, marco de la puerta) cuatro hilos de coser de igual longitud, y en sus extremos atemos sendos objetos, distintos en naturaleza y tamaño (una llave, un tornillo, un corcho y una tijera).
Figura 26. El tiempo de oscilación es independiente de la masa.
Saquémoslos del reposo con una regla (fig. 26) para lograr la misma amplitud en todos. Retiremos la regla. Comienzan a oscilar. Observemos lo que ocurre y veremos que, ante nuestra sorpresa, todos "van y vienen" al mismo tiempo; esto nos permite expresar la siguiente ley de las masas:
| Los tiempos de oscilación de
varios péndulos de igual longitud son independientes de las masas y naturaleza de los mismos. |
LEY DEL ISOCRONISMO
Dispongamos dos péndulos de los que hemos usado, separándolos de su posición de reposo de modo que los ángulos de amplitud sean distintos, pero no mayores de 6° (fig. 27).
Figura 27. El período es independiente de la amplitud.
Dejémoslos libres; comienzan a
oscilar y notamos que, también en
este caso, los péndulos "van y vienen" al mismo tiempo. En consecuencia,
surge la llamada ley del
isocronismo (iguales tiempos):
Los tiempos de oscilación de dos péndulos de igual longitud son
independientes de los ángulos de amplitud (siempre que no sean superiores a 6°).
Figura 28. Forma de comprobar la ley del isocronismo y de las masas.
Esto es fácil de verificar; en una
plaza con juegos infantiles separemos dos columpios de su posición
de reposo (fig. 28), uno a 40 cm y el otro a 60 cm. aproximadamente.
Verificaremos que cumplen lo expuesto al dejarlos oscilar.
LEY DE LAS LONGITUDES
Suponiendo que A, B y C son tres de los péndulos que usamos para verificar la primera ley, trabajemos del siguiente modo:
a) Determinemos las longitudes de cada uno de ellos:
- A = 10 cm = 1 dm,
- B = 40 cm = 4 dm,
- C = 90 cm = 9 dm;
b) Suspendámoslos del marco de la puerta y, de acuerdo con el siguiente orden, saquémoslos del reposo (con igual amplitud):
1) el de 1 dm y el de 4 dm;
2) el de 1 dm y el de 9 dm.
Observaremos que a menor longitud corresponde menor tiempo de oscilación (más ligero: tarda menos); que a mayor longitud corresponde mayor tiempo de oscilación (más despacio); que mientras el de 4 dm cumple una oscilación, el de 1 dm cumple dos (fig. 29); que mientras el de 9 dm cumple una oscilación, el de 1 dm cumple tres.
Esta experiencia permite enunciar la ley de las longitudes:
| Los tiempos de oscilación de dos péndulos, en un mismo lugar de la Tierra, son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes. |
En símbolos,
donde
T1 y T2 = tiempos de oscilación,
l1 , y l2 = longitud de los péndulos.
Figura 29. El tiempo de oscilación es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de las longitudes.
LEY DE LAS ACELERACIONES DE LAS GRAVEDADES
Ya hemos establecido que, en cada lugar de la Tierra, la aceleración de la gravedad es distinta (máxima en los polos y mínima en el ecuador).
Figura 30. El doble rodado aumenta la superficie y disminuye
la presión.
Si hacemos oscilar el mismo péndulo en distintos lugares (Buenos Aires y Lima), se verifica que los tiempos de oscilación no son los mismos. Si es el mismo péndulo, lo único que varía es la gravedad del lugar, factor que modifica el tiempo de oscilación. Se comprueba, así, la llamada ley de las aceleraciones de las gravedades:
Los tiempos de oscilación de un péndulo, en distintos lugares de la Tierra, son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de las gravedades.
En símbolos,
donde
T1 y T2 = tiempos de oscilación,
g1 y g2 = aceleraciones de las
gravedades.
Tiempo de oscilación del péndulo
De las infinitas experiencias realizadas al respecto, se ha podido establecer la siguiente fórmula para el tiempo de oscilación de un péndulo:
de la cual surge la correspondiente para el cálculo de la aceleración de la gravedad (fig. 31)
Figura 31. Invento de Huygens: péndulo aplicado al reloj.
En efecto, si
La longitud del péndulo se determina fácilmente, lo mismo que con un cronómetro, el tiempo de oscilación. Por lo tanto, el péndulo es de gran importancia para la determinación de la gravedad.
Figura 32. El plano que sostiene el péndulo varía su posición, mientras que el de aquél no sufre variaciones.
Otra aplicación importante se efectúa en los relojes. Colocando un péndulo de longitud tal que cumpla una oscilación simple en 1 seg (o sea, 86 400 oscilaciones por día), hará funcionar un mecanismo a ese ritmo (esta aplicación se debe al físico Christiaan Huygens ).
El físico Léon Foucault empleó el péndulo para determinar o comprobar el movimiento de rotaclón de la Tierra, en base a la propiedad de que el plano de oscilación del péndulo es constante ( péndulo de Foucault) ; (figura 32).
3- El tiempo de oscilación de un péndulo es de 1 seg. ¿Qué longitud debe tener en La Plata, Argentina, donde la aceleración de la gravedad es de 9,7975 m/seg2?
Solución
Como
luego,
Respuesta : 24,77 cm
4- ¿Cuál será la aceleración de la gravedad en un lugar donde un péndulo cumple
una oscilación en 1,2 seg, si su longitud es de 0,357 m?
Solución
Como
Podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular la aceleración de la gravedad (g) a partir de la longitud (L) y el período (T) de oscilación de un péndulo simple:
g = (4 * pi² * L) / T²
Donde pi (π) es una constante matemática aproximadamente igual a 3,14159.
Sustituyendo los valores dados en la fórmula, tenemos:
g = (4 * pi² * 0,357 m) / (1,2 s)² g = 37,54 m/s²
Por lo tanto, la aceleración de la gravedad en el lugar donde el péndulo cumple una oscilación en 1,2 segundos y tiene una longitud de 0,357 metros es de aproximadamente 37,54 metros por segundo cuadrado (m/s²).
5- En un mismo lugar, dos péndulos oscilan, empleando 2 seg y 4 seg, respectivamente.
¿Cuántas veces es más largo el segundo que el primero?
Solución
Como
que, reemplazando, resulta
Respuesta : cuatro veces
6 - Determinar la longitud del péndulo que bate el segundo en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,81 m/seg2.
Solución
Como el péndulo que bate el segundo es el que cumple una oscilación simple en un segundo, se cumplirá
que, reemplazando, resulta
Respuesta : 0.994 m
7- Calcular la aceleración de la gravedad de un lugar donde un péndulo de 2 m de longitud posee un período de 2,84 segundos.
Solución
La aceleración de la gravedad en un lugar se puede calcular a partir del período y la longitud del péndulo utilizando la fórmula:
g = (4π²L) / T²
donde g es la aceleración de la gravedad, L es la longitud del péndulo y T es el período del péndulo.
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
g = (4π² x 2 m) / (2.84 s)² g = 9.80 m/s² (aproximadamente)
Por lo tanto, la aceleración de la gravedad en ese lugar es de aproximadamente 9.80 m/s².
8- ¿Cuál será el periodo de un péndulo cuya longitud es de 1,2 m en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9.82 m/seg²?
El período de un péndulo se puede calcular a partir de la longitud y la aceleración de la gravedad utilizando la siguiente fórmula:
T = 2π √(L/g)
donde T es el período del péndulo, L es la longitud del péndulo y g es la aceleración de la gravedad.
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
T = 2π √(1.2 m / 9.82 m/s²) T = 1.15 s (aproximadamente)
Por lo tanto, el período del péndulo en ese lugar sería de aproximadamente 1.15 segundos. |
